Permutasi menghitung susunan yang memperhatikan urutan, sedangkan kombinasi menghitung pilihan yang tidak memperhatikan urutan. Memilih ketua, sekretaris, dan bendahara dari 10 orang adalah permutasi. Memilih tiga orang panitia dari 10 orang adalah kombinasi. Kalkulator permutasi dan kombinasi ini menghitung keduanya dengan tepat, termasuk bilangan yang terlalu panjang untuk kalkulator ilmiah.
Rumus permutasi dan kombinasi
P(n, r) = n! ÷ (n − r)! C(n, r) = n! ÷ (r! × (n − r)!) permutasi berulang = nʳ kombinasi berulang = C(n + r − 1, r) permutasi siklis = (n − 1)! unsur sama = n! ÷ (k₁! × k₂! × …)
Contoh menghitung kombinasi
- Ada 10 orang dan dipilih 3 orang, jadi n = 10 dan r = 3.
- Bila urutan penting: P(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720 susunan.
- Setiap kelompok tiga orang punya 3! = 6 urutan, jadi urutan dihilangkan dengan membagi 6.
- C(10, 3) = 720 ÷ 6 = 120 pilihan.
Tabel contoh nPr dan nCr
| n, r | nPr | nCr |
|---|---|---|
| 5, 2 | 20 | 10 |
| 6, 3 | 120 | 20 |
| 8, 2 | 56 | 28 |
| 10, 4 | 5.040 | 210 |
| 12, 3 | 1.320 | 220 |
Cara cepat membedakan
Tanyakan apakah menukar posisi menghasilkan hal yang berbeda. Kode kunci 1-2-3 berbeda dari 3-2-1, jadi itu permutasi. Satu kelompok berisi Ani, Budi, dan Citra tetap sama walau namanya ditukar, jadi itu kombinasi. Bila unsur boleh dipakai lagi, seperti digit pada kode, pakai bentuk berulang. Duduk melingkar memakai permutasi siklis karena memutar semua orang tidak mengubah susunan.
Permutasi unsur sama
Huruf yang sama tidak menghasilkan susunan baru saat ditukar. Kata MATEMATIKA punya 10 huruf dengan M dua kali, A tiga kali, dan T dua kali, sehingga banyak susunannya 151.200. Isi jumlah tiap huruf di kotak bagian bawah kalkulator.
Memakai hasil untuk peluang
Hitungan susunan sering menjadi dasar peluang. Peluang suatu kejadian adalah banyak hasil yang diinginkan dibagi banyak semua hasil. Misalnya, dari 10 orang akan dipilih 3 orang secara acak, peluang tiga orang tertentu terpilih adalah 1 dibagi C(10, 3). Pada soal yang punya syarat, hitung tiap bagian lalu kalikan: memilih 2 pria dari 5 dan 1 wanita dari 4 sama dengan C(5, 2) × C(4, 1). Jangan menjumlahkan bagian yang terjadi bersamaan, karena penjumlahan dipakai untuk pilihan yang saling lepas, misalnya komite berisi 2 pria atau komite berisi 3 pria.
Batasan
- Hasil memakai aritmetika bilangan bulat tanpa pembulatan: C(52, 5) = 2.598.960.
- n dan r dibatasi 2.000 agar halaman tetap ringan.
- Peluang percobaan berulang dihitung di kalkulator distribusi binomial. Membagi orang secara acak ada di pembagian kelompok online.
Pertanyaan yang sering muncul
Apa beda permutasi dan kombinasi?
Permutasi memperhatikan urutan, kombinasi tidak. Memilih ketua dan wakil adalah permutasi, memilih dua orang panitia adalah kombinasi.
Berapa 10C3 dan 10P3?
10C3 = 120 dan 10P3 = 720.
Bagaimana rumus kombinasi?
C(n, r) = n! ÷ (r! × (n − r)!).
Berapa nilai 0 faktorial?
0! = 1. Nilai ini membuat rumus kombinasi tetap berlaku saat r = 0 atau r = n.
Apa itu permutasi siklis?
Susunan melingkar, seperti duduk mengelilingi meja, dihitung (n − 1)! karena memutar semua orang tidak mengubah susunan.